درسنامه آموزشی فصل هفتم ریاضی کلاس هشتم
درس ۳: جذر تقریبی
فعّالیت (صفحهٔ 110 کتاب درسی)
آزاده، نرگس و نسیم هنگام گردش علمی به یک آب گذر (کانال) به عرض 5 متر رسیدند. در طرف دیگر آب گذر دیوارهای به ارتفاع 3 متر وجود داشت. آنها میخواهند بدانند اگر پلی برای رفتن به طرف دیگر آب ساخته شود، طول آن چقدر خواهد بود؟
در ادامه، گفت وگوی این سه دانش آموز را میخوانید که برای حل این مسئله صورت گرفته است. با دقت در این گفت وگو سعی کنید نظر هر دانش آموز را توضیح دهید.
آزاده: به نظر من این مسئله مانند آن است که یک مثلث قائمالزاویه به اضلاع 3 و 5 متر داشته باشیم و بخواهیم وتر آن را به دست آوریم.
نرگس: پس میتوانیم از رابطهٔ فیثاغورس استفاده کنیم.
نسیم: یعنی رابطهٔ مقابل را داریم: $={{5}^{2}}+{{3}^{2}}=34$ مربع وتر
آزاده: درست است. اکنون برای به دست آوردن طول وتر باید جذر عدد 34 را به دست آوریم.
نرگس: چون $25 \lt 34 \lt 36$ پس $\sqrt{34}$ بین دو عدد 5 و 6 قرار دارد.
یعنی داریم:
$5 \lt \sqrt{34} \lt 6$
نسیم: اگر فاصلهٔ 5 تا 6 را روی محور نصف کنیم، عدد 5/5 به دست میآید و چون ${{(5/5)}^{2}}=30/25$، پس حتماً جذر 34 از 5/5 بیشتر است.
آزاده: میتوانیم چند عدد بزرگتر از 5/5 را بررسی کنیم؛ مثلاً 5/7 و 5/8 و 5/9.
سپس آنها به کمک ماشین حساب جدول زیر را تکمیل کردند.
| 6 | 5/9 | 5/8 | 5/7 | عدد |
| 36 | 34/81 | 33/64 | 32/49 | مجذور |
در نتیجه با توجه به جدول بالا، مقدار $\sqrt{34}$ تقریباً برابر 5/8 است.
آخرین جملهٔ فعّالیت بالا را معمولاً به شکل روبه رو مینویسیم:
$\sqrt{34}\simeq 5/8$
اگر این دانش آموزان بخواهند به کمک روش بالا مقدار $\sqrt{34}$ را تا دو رقم اعشار حساب کنند، چگونه باید این کار را انجام دهند؟
با توجه به جدول زیر پاسخ را به دست میآوریم:
| 5/89 | 5/88 | 5/87 | 5/86 | 5/85 | 5/84 | 5/83 | 5/82 | 5/81 |
| 34/69 | 34/57 | 34/45 | 34/33 | 34/22 | 34/1 | 33/98 | 33/87 | 33/75 |
مقدار $\sqrt{34}$ تا پنج رقم اعشار به کمک ماشین حساب چنین به دست میآید:
$\sqrt{34}\simeq 5/83095$
کار در کلاس (صفحهٔ 111 کتاب درسی)
1- با پر کردن جاهای خالی، مقدار $\sqrt{2}$ و $\sqrt{200}$ را به صورت تقریبی تا یک رقم اعشار به دست آورید. نتیجه را با آنچه ماشین حساب به دست میآورد، مقایسه کنید.
الف)
$\sqrt{1} \lt \sqrt{2} \lt \sqrt{4}$
پس:
$2$$1 \lt \sqrt{2} \lt $
اکنون با نصف کردن فاصلهٔ 1 تا 2 روی محور، عدد 1/5 را آزمایش میکنیم.
چون ${{(1/5)}^{2}}=2/25$، پس مقدار $\sqrt{2}$ حتماً کمتر از 1/5 است.
| 1/5 | 1/4 | 1/3 | عدد |
| 2/25 | 1/96 | 1/69 | مجذور |
به کمک جدول بالا میتوان نوشت:
$1/4$$\sqrt{2}\simeq $
$\sqrt{225}$$\sqrt{196} \lt \sqrt{200} \lt $
بنابراین:
$ \lt \sqrt{200} \lt 15$$14$
اکنون با نصف کردن فاصله 14 تا 15 روی محور اعداد، عدد 14/5 را آزمایش میکنیم. چون ${{(14/5)}^{2}}=210/25$، بنابراین $\sqrt{200}$ حتماً کمتر از 14/5 است.
بنابراین:
$14/1$$\sqrt{200}\simeq $
| 14/4 | 14/3 | 14/2 | 14/1 | عدد |
| 207/36 | 204/49 | 201/64 | 198/81 | جذر |
2- ابتدا مقدار تقریبی هر عددی را که در جدول آمده است، حدس بزنید؛ سپس به کمک ماشین حساب، حاصل را تا دو رقم اعشار پیدا کنید و با مقداری که حدس زدهاید، مقایسه کنید.
| $\sqrt{140}$ | $\sqrt{99}$ | $\sqrt{68}$ | $\sqrt{18/5}$ | $\sqrt{10/3}$ | $\sqrt{5}$ | $\sqrt{3}$ | عدد |
| مقدار حدس زده شده | |||||||
| 11/83 | 9/94 | 8/24 | 4/30 | 3/20 | 2/23 | 1/73 | ماشین حساب |
تمرین (صفحهٔ 112 کتاب درسی)
1- به کمک روشی که در درس یاد گرفتهاید، مقدارهر یک از عددهای زیر را تا یک رقم اعشار به دست آورید.
| 4/1 | 4/2 | 4/3 | 4/4 | 4/5 |
| 18/49 | 19/36 | 20/25 |
$\sqrt{19},\sqrt{40},\sqrt{150},\sqrt{385}$
$\sqrt{16} \lt \sqrt{19} \lt \sqrt{25}$
نصف فاصلهی 4 تا 5 میشود 4/5
$\sqrt{19}=4/4$
| 6/1 | 6/2 | 6/3 | 6/4 | 6/5 |
| 39/69 | 40/96 | 42/25 |
$\sqrt{36} \lt \sqrt{40} \lt \sqrt{49}$
نصف فاصلهی 6 تا 7 میشود 6/5
$\sqrt{40}=6/3$
| 12/1 | 12/2 | 12/3 | 12/4 | 12/5 |
| 148/84 | 151/29 | 153/76 | 156/25 |
$\sqrt{144} \lt \sqrt{150} \lt \sqrt{169}$
نصف فاصلهی 12 تا 13 میشود 12/5
$\sqrt{150}=12/2$
| 19/9 | 19/8 | 19/7 | 19/6 | 19/5 |
| 388/09 | 384/16 | 380/25 |
$\sqrt{361} \lt \sqrt{385} \lt \sqrt{400}$
نصف فاصلهی 19 تا 20 میشود 19/5
$\sqrt{385}=19/6$
2- در جاهای خالی علامت مناسب قرار دهید. از ماشین حساب کمک بگیرید.
$\sqrt{11} \lt 3\frac{1}{3}$
$\sqrt{17} \gt 4/03$
$\sqrt{6/25}=2\frac{1}{2}$
$1+\sqrt{15} \gt 4$
$\sqrt{20}-2 \lt \sqrt{18}$
${{(\sqrt{3})}^{2}}=3$
3- جاهای خالی روی محور را با عددهای مناسب پر کنید.
4- در هر یک از تمرینهای زیر، یک محور اعداد رسم، و نقطهای روی آن مشخص شده است (نقاط A ،B ،C). نقطهٔ مشخص شده روی محور به کدام یک از عددهای داده شده نزدیکتر است؟ دلیل بیاورید.
$\sqrt{79},\sqrt{98},\sqrt{81},\sqrt{85}$
نزدیکتر است $\sqrt{85}$
دلیل:
$\sqrt{81}=9$ $\sqrt{64} \lt \sqrt{79} \lt \sqrt{81}$
$\sqrt{81} \lt \sqrt{85} \lt \sqrt{100}$ $\sqrt{81} \lt \sqrt{98} \lt \sqrt{100}$
$-\sqrt{12},-\sqrt{17},-\sqrt{15},-\sqrt{28}$
نزدیکتر است $\sqrt{15}$
دلیل:
$-\sqrt{9} \lt -\sqrt{15} \lt -\sqrt{16}$ $-\sqrt{9} \lt -\sqrt{12} \lt -\sqrt{16}$
$-\sqrt{25} \lt -\sqrt{28} \lt -\sqrt{36}$ $-\sqrt{16} \lt -\sqrt{17} \lt -\sqrt{25}$
$\sqrt{140},\sqrt{116},\sqrt{121},\sqrt{126}$
نزدیکتر است $\sqrt{140}$
دلیل:
$\sqrt{121}=11$ $\sqrt{121} \lt \sqrt{140} \lt \sqrt{144}$
$\sqrt{121} \lt \sqrt{126} \lt \sqrt{144}$ $\sqrt{100} \lt \sqrt{116} \lt \sqrt{121}$